题目内容
设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；
（2）若直线AB的方向向量为
，当焦点为
时，求△OAB的面积；（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．
【答案】分析：（1）先由抛物线的方程得到其焦点坐标，设A（x，y），M（x，y），利用中点坐标公式得
，最后根据抛物线方程消去参数x，y，即得线段AF中点M的轨迹方程．
（2）先利用直线AB的方向向量，求出直线的斜率，得出直线方程；再与抛物线方程联立，求出A、B两点之间的线段长以及点O到AB的距离，代入△ABO面积的表达式，求出△ABO面积即可．
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3．直线AB的方程与抛物线方程联立，结合根与系数的关系，证出k1+k2=2k3即可证得kMA、kMF、kMB成等差数列．
解答：解：（1）设A（x，y），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意
，即
…2分
所求的轨迹方程为4y2=4（2x-1），即y2=2x-1…4分
（2）y2=2x，
，直线
，…5分
由
得，y2-y-1=0，
…7分
，…8分
…9分
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3．
点A、B、M的坐标为
．
设直线AB：
，代入抛物线得
，…11分
所以
，…12分
又
，
，
因而
，
因而
…14分
而2
，故k1+k2=2k3．…16分．
点评：本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．
，最后根据抛物线方程消去参数x，y，即得线段AF中点M的轨迹方程．（2）先利用直线AB的方向向量，求出直线的斜率，得出直线方程；再与抛物线方程联立，求出A、B两点之间的线段长以及点O到AB的距离，代入△ABO面积的表达式，求出△ABO面积即可．
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3．直线AB的方程与抛物线方程联立，结合根与系数的关系，证出k1+k2=2k3即可证得kMA、kMF、kMB成等差数列．
解答：解：（1）设A（x，y），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意
，即…2分所求的轨迹方程为4y2=4（2x-1），即y2=2x-1…4分
（2）y2=2x，
，直线，…5分由
得，y2-y-1=0，…7分，…8分…9分（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3．
点A、B、M的坐标为
．设直线AB：
，代入抛物线得，…11分所以
，…12分又
，，因而
，因而
…14分而2
，故k1+k2=2k3．…16分．点评：本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．
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