Question

9．已知函数f（x）=|2^x-1-1|．
（1）作出函数y=f（x）的图象；
（2）若a＜c，且f（a）＞f（c），求证：2^a+2^c＜4．

Answer 1

分析 （1）利用解析式可得分段函数，即可作出函数y=f（x）的图象；
（2）确定a＜1，再分类讨论，即可证明结论．

解答 （1）解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}-1，x≥1}\\{1-{2}^{x-1}，x＜1}\end{array}\right.$，其图象如图所示．
（2）证明：由图知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
故结合条件知必有a＜1．
若c≤1，则2a＜2，2c≤2，所以2a+2c＜4；
若c＞1，则由f（a）＞f（c），得1-2a-1＞2c-1-1，即2c-1+2a-1＜2，所以2a+2c＜4．
综上知，总有2a+2c＜4．

点评 本题考查分段函数，考查不等式的证明，考查学生的作图能力，属于中档题．