题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,试判断
的零点个数.
【答案】(1)当时,
在
上是增函数,
当,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数;
(2)1
【解析】
(1)对求导后对
进行分类讨论,找到
和
的区间,即为
的单调区间.
(2)由(1)可知时,
有极大值
和极小值
,研究他们的正负,并且找到令
的点,根据零点存在定理,找出零点个数.
(1)函数的定义域为
,
,令
,则
,
,
(i)若,则
恒成立,所以
在
上是增函数,
(ii)若,则
,
当时,
,
是增函数,
当时,
,
是减函数,
当时,
,
是增函数,
(iii)若,则
,
当时,
,
是增函数,
当时,
,
是减函数,
当时,
,
是增函数,
综上所述:当时,
在
上是增函数,
当,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数;
(2)当时,
在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
所以的极小值为
,
的极大值为
,
设,其中
,
,
所以在
上是增函数,
所以,
因为,
所以有且仅有1个,使
.
所以当时,
有且仅有1个零点.

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