Question

已知以点P为圆心的圆过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=4

10

．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）直线CD是线段AB的垂直平分线，所以由直线AB的斜率与直线CD的斜率互为负倒数，同时，线段AB的中点在直线CD上，由点斜式求得直线CD的方程．
（2）设圆心P（a，b），则由P在CD上得a+b-3=0 ①又直径|CD|=4

10

，|PA|=2

10

 即（a+1）²+b²=40 ②由①②消去a得b²-4b-12=0，求得圆心．
（3）易知|AB|=

42+42

=4

2

，由三角形面积公式求得AB上高和圆心到直线的距离，再由“若两距离之和等于半径则有三个点，若小于半径有四个点，若大于半径有两个点”判断即可．

解答：解：（1）∵k_AB=1，AB的中点坐标为（1，2）
∴直线CD的方程为：y-2=-（x-1）即x+y-3=0；
（2）设圆心P（a，b），
则由P在CD上得a+b-3=0 ①
又直径|CD|=4

10

，∴|PA|=2

10

∴（a+1）²+b²=40 ②
①代入②消去a得b²-4b-12=0，
解得b=6或b=-2
当b=6时a=-3，当b=-2时a=5
∴圆心P（-3，6）或P（5，-2）
∴圆P的方程为：（x+3）²+（y-6）²=40
或（x-5）²+（y+2）²=40；
（3）∵|AB|=

42+42

=4

2

，
∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2

2

，
又圆心到直线AB的距离为4

2

，圆P的半径r=2

10

，
且4

2

+2

2

＞2

10

，
∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8．

点评：本题主要考查线段的垂直平分线，圆的标准方程的求法以及圆上的点与直线间的距离的探究．