题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)，A（2，0）为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且
•
=0，|
-
|=2|
-
|，则椭圆的离心率为
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AC |
| BC |
| OC |
| OB |
| BC |
| BA |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
分析：由椭圆可得：|BC|=2|AC|，AC⊥BC，即可得到|OC|=|AC|，结合A（2，0）可得C（1，1），再结合点C在椭圆上与a，b，c之间的关系求出c的值，进而求出椭圆的离心率．
解答：解：∵
•
=0，|
-
|=2|
-
|，
∴|BC|=2|AC|，AC⊥BC，
由椭圆的结构特征可得：|OC|=|AC|，
∵A（2，0）为长轴的一个端点，即a=2，
∴C点的横坐标为1，即C（1，1），
∵点C在椭圆
+
=1上，
∴b2=
，∴c2=
，即c=
，
∴e=
=
．
故答案为：
．
| AC |
| BC |
| OB |
| OC |
| BC |
| BA |
∴|BC|=2|AC|，AC⊥BC，
由椭圆的结构特征可得：|OC|=|AC|，
∵A（2，0）为长轴的一个端点，即a=2，
∴C点的横坐标为1，即C（1，1），
∵点C在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴b2=
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
点评：本题主要是借助于向量的有关运算性质考查椭圆的简单性质，解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质与解三角形的有关知识，此题综合性较强，本题属于基础题．
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