题目内容
【题目】已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并与圆
内切，圆心的轨迹为曲线
.
（1）求曲线
的方程；
（2）若双曲线
的右焦点即为曲线
的右顶点，直线
为
的一条渐近线.
①.求双曲线C的方程；
②.过点
的直线
，交双曲线
于
两点，交
轴于
点（
点与
的顶点不重合），当
，且
时，求
点的坐标.
【答案】（1）
（2）①
②
【解析】
试题分析：（1）由两圆相切可得到圆心距和半径的关系
，结合椭圆定义可知曲线
为椭圆，进而可求得方程；（2）①由曲线E的方程求得右顶点，从而得到曲线C的右焦点，结合渐近线可求得双曲线中的
值，从而得到双曲线方程；②由向量关系
及
可求得点
的关系式
，将直线方程及双曲线联立转化为二次方程，利用韦达定理得到
，结合可求得
的值
试题解析：（1）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以
，………………………1分
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为
的
椭圆，…3分 ( 求出
给1分，求出
得1分) 则此方程为.…4分
（2）设双曲线方程为
，由椭圆
，求得两焦点为
，
所以对于双曲线
，…… 5分 又
为双曲线
的一条渐近线，
所以
，解得
，… 6分 故双曲线
的方程.…… 7分
（3）解法一：由题意知直线
的斜率
存在且不等于零.
设的方程：
，
，则
，
，……… 8分
所以
从而
在双曲线
上，
，………………9分
， 
.
同理有
………………………10分
若
，则直线
过顶点，不合题意，
是二次方程
的两根.
，
，……11分 此时
.所求
的坐标为.………… 12分
解法二：由题意知直线
的斜率
存在且不等于零
设
的方程：
，则
.
，
.
，
，
，
… 8分
又
，
，即
，……9分
将
代入
，得
，………………10分
，否则
与渐近线平行.
.………11分
，
，
.………………………12分
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