Question

13．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据等差数列的性质，结合a_n=S_n-S_n-1的关系，进行求解即可．

解答 解：∵a₁=1，{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
即S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=$-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∵a₁=1不满足a_n=$-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据等差数列的通项公式求出S_n的表达式是解决本题的关键．