题目内容
【题目】如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1 ． 
（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若AB1= 
，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．
【答案】
（1）证明：取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，
∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，
∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，
则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，
∴C1C⊥平面OAB1，
∵AB1平面OAB1
∴AB1⊥CC1
（2）解：∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，
∴AC=2，OA= 
，OB1= ，
若AB1= 
，
则OA2+OB12=AB12，
则三角形AOB1为直角三角形，
则AO⊥OB1，
以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），B1（0， ，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0， ），
则 
=（﹣2，0，0），
则 
= =（﹣2，0，0）， 
=（0， ，﹣ ）， 
=（﹣1，0，﹣ ），
设平面AB1C的法向量为 
=（x，y，z），
则 
，
令z=1，则y=1，x=﹣ ，
则 =（﹣ ，1，1），
设平面A1B1A的法向量为 
=（x，y，z），则 
，
令z=1，则x=0，y=1，即 =（0，1，1），
则cos＜ ， ＞= 
= 
= 
由于二面角C﹣AB1﹣A1是钝二面角，
∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣ 
．
【解析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．
