题目内容

【题目】已知点A(0,﹣2),椭圆E: + =1(a>0,b>0)的离心率为 ,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为 ,O是坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.

【答案】
(1)解:设F(c,0),由条件知 ,得 ,又

∴a=2,b2=a2﹣c2=1,

故E的方程为:


(2)解:当l⊥x轴时,不合题意,

故设l:y=kx﹣2,p(x1,y1),Q(x2,y2),

联立 ,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0.

当△=16(4k2﹣3)>0,即 时,

从而

又点O到直线PQ的距离

∴△OPQ的面积为

,当且仅当 ,即t=2时取“=”.

,即 时等号成立,且满足△>0,

∴当△OPQ的面积最大时,l的方程为


【解析】(1)设F(c,0),由已知得 ,求得c,再由离心率求得a,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;(2)由题意可知,当l⊥x轴时,不合题意,设l:y=kx﹣2,联立直线方程与椭圆方程,求出P、Q的横坐标,代入弦长公式求得|PQ|,再由点到直线的距离公式求得O到PQ的距离,代入三角形面积公式,换元后利用基本不等式求最值,同时求得当△OPQ的面积最大时直线l的方程.

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