Question

1．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 1+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把$\frac{p}{2}$=c代入整理得c⁴-6a²c²+a⁴=0等式两边同除以a⁴，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．

解答 解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F
∴两条曲线交点为（$\frac{p}{2}$，p），
代入双曲线方程得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
又$\frac{p}{2}$=c
代入化简得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²
∴e=$\sqrt{2}$+1
故选：C．

点评 本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意与椭圆的区别．