题目内容
（2012•莆田模拟）已知函数f（x）=asinx-x+b（a＞0，b＞0）．
（1）求证：函数f（x）在区间[0，a+b]内至少有一个零点；
（2）若函数f(x)在x=
处取得极值．
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx对任意x∈[0，
]恒成立，求b的取值范围；
（ii）设△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且-
＜x1＜x2＜x3＜
，求证：f（sin2A+sin2C）＜f（sin2B）．
（1）求证：函数f（x）在区间[0，a+b]内至少有一个零点；
（2）若函数f(x)在x=
| π |
| 3 |
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx对任意x∈[0，
| π |
| 2 |
（ii）设△ABC的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
分析：（1）利用f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0，可得函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）根据函数f(x)在x=
处取得极值，可得a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，
]恒成立，构造函数g（x）=cosx-sinx+x，求函数的最大值，即可求b的取值范围；
（ii）确定函数f（x）在（-
，
）上是单调递增函数，从而可得y1＜y2＜y3，利用向量的夹角公式、余弦定理、正弦定理可得sin2A+sin2C＜sin2B，再利用函数f（x）在（-
，
）上是单调递增函数，即可证得结论．
（2）根据函数f(x)在x=
| π |
| 3 |
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，
| π |
| 2 |
（ii）确定函数f（x）在（-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：（1）证明：∵函数f（x）=asinx-x+b，a、b均为正的常数
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）解：f′（x）=acosx-1，
∵函数f(x)在x=
处取得极值，∴f′（
）=0
∴acos
-1=0，∴a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，
]恒成立
设g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-
sin（x+
）+1
∵x∈[0，
]，∴x+
∈[
，
]，∴sin（x+
）∈[
，1]
∴
sin（x+
）∈[1，
]
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，
]上是单调减函数，且最大值为g（0）=1
∴b＞1；
（ii）证明：当x∈（-
，
）时，cosx＞
，∴f′（x）=2cosx-1＞0，
∴函数f（x）在（-
，
）上是单调递增函数
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且-
＜x1＜x2＜x3＜
，
∴y1＜y2＜y3
∵cos∠ABC=
=
∴cos∠ABC＜0
由余弦定理，cos∠ABC=
＜0
∴|AB|2+|BC|2＜|AC|2
由正弦定理可得：sin2A+sin2C＜sin2B
∴sin2A+sin2C、sin2B∈（0，1）⊆（-
，
）
∵函数f（x）在（-
，
）上是单调递增函数
∴f（sin2A+sin2C）＜f（sin2B）．
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）解：f′（x）=acosx-1，
∵函数f(x)在x=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴acos
| π |
| 3 |
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，
| π |
| 2 |
设g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-
| 2 |
| π |
| 4 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，
| π |
| 2 |
∴b＞1；
（ii）证明：当x∈（-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴函数f（x）在（-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在函数f（x）的图象上，且-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴y1＜y2＜y3
∵cos∠ABC=
| ||||
|
|
| (x1-x2)(x3-x2)+(y1-y2)(y3-y2) | ||||
|
|
∴cos∠ABC＜0
由余弦定理，cos∠ABC=
| |AB|2+|BC|2-|AC|2 |
| 2|AB||BC| |
∴|AB|2+|BC|2＜|AC|2
由正弦定理可得：sin2A+sin2C＜sin2B
∴sin2A+sin2C、sin2B∈（0，1）⊆（-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵函数f（x）在（-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（sin2A+sin2C）＜f（sin2B）．
点评：本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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