题目内容
（2008•青浦区一模）已知f（x）=log2x，若2，f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），2n+4，…（n∈N*）成等差数列．
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log2x+log2(3
-x)≥2k+3(k∈N*)整数解的个数，求g（k）；
（3）在（2）的条件下，试求一个数列{bn}，使得
[
b1+
b2+…
bn]=
．
（1）求数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log2x+log2(3
| ak |
（3）在（2）的条件下，试求一个数列{bn}，使得
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| g(1)g(2) |
| 1 |
| g(2)g(3) |
| 1 |
| g(n)g(n+1) |
| 1 |
| 5 |
分析：（1）先弄清数列的项数，然后根据等差数列的通项公式求出公差d，从而求出f（an）的值，即可求出数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）将ak代入不等式，然后根据对数的运算性质进行化简变形，然后因式分解得（x-2k+1）（x-2•2k+1）≤0，从而求出x的范围，即可求出g（k）；
（3）将
进行裂项得
=
(
-
)，可取bn=2n+1，然后验证
[
b1+
b2+…
bn]=
是否成立．
（2）将ak代入不等式，然后根据对数的运算性质进行化简变形，然后因式分解得（x-2k+1）（x-2•2k+1）≤0，从而求出x的范围，即可求出g（k）；
（3）将
| 1 |
| g(n)g(n+1) |
| 1 |
| g(n)g(n+1) |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
| 1 |
| 2n+2+1 |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| g(1)g(2) |
| 1 |
| g(2)g(3) |
| 1 |
| g(n)g(n+1) |
| 1 |
| 5 |
解答：解：（1）2n+4=2+（n+1）d，
∴d=2 f（an）=2+（n+1-1）•2=2（n+1）
即log2an=2n+2，
∴an=22n+2
（2）log2(-x2+3
x)≥2k+3，
∴-x2+3
x≥22k+3，
得，x2-3•2k+1x+22（k+1）+1≤0，即x2-3•2k+1x+2•（2k+1）2≤0，
∴（x-2k+1）（x-2•2k+1）≤0，
∴2k+1≤x≤2•2k+1
则g（k）=2k+1+1
（3）
=
=
(
-
)，
取bn=2n+1，
则
bn=
bn=
-
[
b1+
b2+…
bn]=
(
-
)=
．
∴bn=2n+1
∴d=2 f（an）=2+（n+1-1）•2=2（n+1）
即log2an=2n+2，
∴an=22n+2
（2）log2(-x2+3
| 22(k+1) |
∴-x2+3
| 22(k+1) |
得，x2-3•2k+1x+22（k+1）+1≤0，即x2-3•2k+1x+2•（2k+1）2≤0，
∴（x-2k+1）（x-2•2k+1）≤0，
∴2k+1≤x≤2•2k+1
则g（k）=2k+1+1
（3）
| 1 |
| g(n)g(n+1) |
| 1 |
| (2n+1+1)(2n+2+1) |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1+1 |
| 1 |
| 2n+2+1 |
取bn=2n+1，
则
| 1 |
| g(n)g(n+1) |
| 1 |
| (2n+1+1)(2n+2+1) |
| 1 |
| 2n+1+1 |
| 1 |
| 2n+2+1 |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| g(1)g(2) |
| 1 |
| g(2)g(3) |
| 1 |
| g(n)g(n+1) |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2n+2+1 |
| 1 |
| 5 |
∴bn=2n+1
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合运用，同时考查了裂项求和法和计算能力，属于中档题．
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