题目内容

(2008•青浦区一模)设函数f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a(a
为实常数)在区间[0,
π
2
]
上的最小值为-4,那么a的值为
-4
-4
分析:利用求导法则,求出函数f(x)的导函数,令导函数值为0,求出x的值,再由区间的两端点0和
π
2
,表示出函数的最小值,根据函数的最小值为-4,即可得到a的值.
解答:解:求导得:f′(x)=-4sinxcosx+2
3
cos2x
=-2sin2x+2
3
cos2x
=4sin(
π
3
-2x),
令f′(x)=0,得到x=
π
6

∵f(0)=2+a,f(
π
2
)=a,f(
π
6
)=3+a,
∴函数的最小值为a,又函数区间[0,
π
2
]
上的最小值为-4,
则a=-4.
故答案为:-4
点评:此题考查了利用导数研究闭区间上函数的最值,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,要求学生熟练掌握求导法则,以及三角函数的恒等变换公式,综合运用所学知识来解决问题.
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