题目内容
已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=
［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］，问是否存在正数k,使得{bn}成等差数列？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］，问是否存在正数k,使得{bn}成等差数列？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.k=1时,{bn}成等差数列.
假设存在正数k,使得{bn}成等差数列.
设数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1.
而bn=［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］
=lg(ka1·a2·a3·…·an)
=lg(k·a1n·
)
=lga1+(n-1)lg
+lg
.
∴bn+1-bn=(lga1+nlg+lg
)-［lga1+(n-1)lg+lg］
=lg+lg-lg.
若{bn}为等差数列,当且仅当lg-lg=0,
即lg=lg,=,
∴k=1.
因此当k=1时,{bn}成等差数列.
设数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1.
而bn=
［lga1+lga2+lga3+…+lg(kan)］=
lg(ka1·a2·a3·…·an)=
lg(k·a1n·)=lga1+(n-1)lg
+lg.∴bn+1-bn=(lga1+nlg
+lg)-［lga1+(n-1)lg+lg］=lg
+lg-lg.若{bn}为等差数列,当且仅当lg
-lg=0,即lg
=lg,=,∴k=1.
因此当k=1时,{bn}成等差数列.
练习册系列答案
相关题目
，
，
，
，则数列
的通项公式
= 。
与等比数列
中，
，求
的各项均为
正数，公比
，设
，
，