题目内容
7．已知数列{an}为等差数列，a4=9，且a8+a2=22（Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）若点An（an，bn）在函数y=3x的图象上，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析 （Ⅰ）可以利用a4=a1+3d=9、a8+a2=a1+7d+a1+d=22求出首项和公差，进而可得结论；也可以利用等差中项的性质通过a8+a2=22得a5=11，进而可得公差d=a5-a4=2，利用an=a4+（n-4）d计算即可；
（Ⅱ）通过将点An（an，bn）代入y=3x可知${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$，进而可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=9，计算即得结论．
解答 解：（Ⅰ）法一：设数列{an}的公差为d，
由题可知a4=a1+3d=9，
即a8+a2=a1+7d+a1+d=22，
解得a1=3，d=2，
∴an=2n+1；
法二：由a8+a2=22得a5=11，
又a4=9，
∴数列{an}的公差d=a5-a4=11-9=2，
∴an=a4+（n-4）d=2n+1；
（Ⅱ）∵点An（an，bn）在函数y=3x的图象上，
∴${b_n}={3^{a_n}}={3^{2n+1}}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{3}^{2n+3}}{{3}^{2n+1}}$=9，
又∵b1=${3}^{{a}_{1}}$=32+1=27，
∴数列{bn}是以27为首项、9为公比的等比数列，
∴Sn=b1+b2+…+bn=$\frac{{27（1-{9^n}）}}{1-9}=\frac{{27（{9^n}-1）}}{8}$．
点评 本题是一道关于数列与函数的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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