题目内容
【题目】已知(
且
)在区间
上的最大值与最小值之和为
,
,其中
.
(1)直接写出的解析式和单调性;
(2)若对
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设,若
,使得对
,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1),减函数;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)分和
两种情况讨论函数
在区间
上单调性,得出
,可解出实数
的值,并判断出函数
的单调性;
(2)由,可得出
对任意的实数
恒成立,由参变量分离法得出
,求出
的取值范围,即可得出实数
的取值范围;
(3)由题意可得,求出函数
在区间
上的最大值,然后分
与
的大小关系,求出函数
在区间
上最大值
,然后解出不等式
即可得出实数
的取值范围.
(1)当时,函数
在区间
上为增函数;
当时,函数
在区间
上为减函数.
由题意可得,即
,
且
,解得
,
,则函数
为减函数;
(2)由(1)可得,由
,即
,即
,即
对任意的
恒成立,即
.
,
,
,因此,实数
的取值范围是
;
(3)函数
在区间
上单调递减,则
.
由题意可得,.
二次函数的图象开口向上,对称轴为直线
.
当时,且当
时,
,则
,解得
,此时
;
当时,且当
时,
,则
,解得
,此时
.
综上所述,实数的取值范围是
.
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