题目内容

12.在△ABC中.已知AB=3,AC=4,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin2B的值.

分析 (1)由已知及余弦定理即可解得BC的值.
(2)由正弦定理可得:sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$的值,又由余弦定理可求cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$的值,利用二倍角的正弦函数公式即可得解sin2B的值.

解答 解:(1)∵在△ABC中.已知AB=3,AC=4,A=60°.
∴由余弦定理可得:BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosA}$=$\sqrt{9+16-2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$.
(2)∵由正弦定理可得:sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$,
又∵cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{9+13-16}{2×3×\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$
∴sin2B=2sinBcosB=2×$\frac{2\sqrt{39}}{13}$×$\frac{\sqrt{13}}{13}$=$\frac{4\sqrt{3}}{13}$.

点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,二倍角公式的应用,考查了计算能力,属于中档题.

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