题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数是偶函数,求实数
的值;
(2)若函数,关于
的方程
有且只有一个实数根,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求的值;
(2)根据题意方程有且只有一个实数根,等价于
只有一个实数根,等价于
有且只有一个实数根,令,
则需关于
的方程
有且只有一个大于
的实数根,结合二次函数的性质来分析。
解:(1)因为是偶函数,
所以对任意的
成立,
所以对任意的
成立,
所以对任意的
成立,
所以.
(2)因为,
,
所以,
所以
设,则有关于
的方程
.
若,即
,则需关于
的方程
有且只有一个大于
的实数根.
设,则
,
所以,
所以成立,
所以,满足题意;
若,即
时,解得
,不满足题意;
若,即
时,
,且
,
所以.
当时,关于
的方程
有且只有一个实数根
,满足题意.
综上,所求实数的取值范围是
..
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