题目内容
(2009•越秀区模拟)已知{an}是公差不为0的等差数列,它的前9项和S9=90,且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}和{bn}满足等式:an=
+
+
+…+
(n为正整数),求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}和{bn}满足等式:an=
b1 |
3 |
b2 |
32 |
b3 |
33 |
bn |
3n |
分析:(1)通过数列前9项和S9=90,且a2,a4,a8成等比数列.列出方程组,求出数列的首项与公差,即可求数列{an}的通项公式;
(2)利用an=
+
+
+…+
,写出n+1的表达式,求出bn的通项公式,判断数列是等比数列,然后求出前n项和Tn.
(2)利用an=
b1 |
3 |
b2 |
32 |
b3 |
33 |
bn |
3n |
解答:解:(1)设an=a1+(n-1)d d≠0,则
即
,解得a1=2,d=2.
所以an=2+(n-1)×2=2n.
(2)解:由(1)得,
+
+
+…+
=2n ①,
当n≥2时,
+
+
+…+
=2(n-1) ②,
由①-②得,
=2,所以bn=2•3n.n≥2.
当n=1时,b1=3a1=6也适合上式,所以bn=2•3n.n为正整数.
因为
=
=3,所以{bn}是首项为b1=6,公比为3的等比数列,
所以Tn=b1+b2+…+bn=
=3n+1-3.
|
即
|
所以an=2+(n-1)×2=2n.
(2)解:由(1)得,
b1 |
3 |
b2 |
32 |
b3 |
33 |
bn |
3n |
当n≥2时,
b1 |
3 |
b2 |
32 |
b3 |
33 |
bn-1 |
3n-1 |
由①-②得,
bn |
3n |
当n=1时,b1=3a1=6也适合上式,所以bn=2•3n.n为正整数.
因为
bn+1 |
bn |
2•3n+1 |
2•3n |
所以Tn=b1+b2+…+bn=
6(1-3n) |
1-3 |
点评:本题考查数列通项公式的求法,数列是等比数列的判断,数列前n项和的求法,考查计算能力,注意验证数列的首项是否满足题意.

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