题目内容

(2009•越秀区模拟)已知{an}是公差不为0的等差数列,它的前9项和S9=90,且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}和{bn}满足等式:an=
b1
3
+
b2
32
+
b3
33
+…+
bn
3n
(n为正整数),求数列{bn}的前n项和Tn
分析:(1)通过数列前9项和S9=90,且a2,a4,a8成等比数列.列出方程组,求出数列的首项与公差,即可求数列{an}的通项公式;
(2)利用an=
b1
3
+
b2
32
+
b3
33
+…+
bn
3n
,写出n+1的表达式,求出bn的通项公式,判断数列是等比数列,然后求出前n项和Tn
解答:解:(1)设an=a1+(n-1)d   d≠0,则
9a1+
9×8
2
d=90
(a1+d)(a1+7d)=  (a1+3d)2

a1+4d=10
a1=d
,解得a1=2,d=2.
所以an=2+(n-1)×2=2n.
(2)解:由(1)得,
b1
3
+
b2
32
+
b3
33
+…+
bn
3n
=2n
 ①,
当n≥2时,
b1
3
+
b2
32
+
b3
33
+…+
bn-1
3n-1
=2(n-1)
 ②,
由①-②得,
bn
3n
=2
,所以bn=2•3n.n≥2.
当n=1时,b1=3a1=6也适合上式,所以bn=2•3n.n为正整数.
因为
bn+1
bn
=
2•3n+1
2•3n
=3
,所以{bn}是首项为b1=6,公比为3的等比数列,
所以Tn=b1+b2+…+bn=
6(1-3n)
1-3
=3n+1-3.
点评:本题考查数列通项公式的求法,数列是等比数列的判断,数列前n项和的求法,考查计算能力,注意验证数列的首项是否满足题意.
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