Question

（2009•越秀区模拟）已知一动圆P（圆心为P）经过定点Q（

2

，0），并且与定圆C：(x+

2

)2+y2=16（圆心为C）相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线l经过圆x²+y²-2x-2y=0的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点．是否存在常数k，使得

CA

+

CB

=2

CM

？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），动圆半径为r，则|PQ|=r．因为点Q在圆C的内部，所以动圆P与定圆C内切，所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=2

2

，由此能够求出动圆圆心P的轨迹方程．
（2）假设存在常数k，使得

CA

+

CB

=2

CM

，即

AM

=

MB

，所以M为AB的中点．圆方程可化为（x-1）²+（y-1）²=2，所以圆心M为（1，1）．直线l的方程为y-1=k（x-1）．由

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．因为点M（1，1）在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的内部，所以恒有△＞0．由此能够推导出存在常数k=-

1

2

，使得

CA

+

CB

=2

CM

．

解答：（1）解：设P（x，y），动圆半径为r，则|PQ|=r．
因为点Q在圆C的内部，所以动圆P与定圆C内切，
所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=2

2

，
根据椭圆的定义，动圆圆心P的轨迹是以C、Q为焦点的椭圆．
因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
故可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由2a=4，2c=2

2

，得a=2，c=

2

，b=

2

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
所以动圆圆心P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）解：假设存在常数k，使得

CA

+

CB

=2

CM

，
即

AM

=

MB

，所以M为AB的中点．
圆方程可化为（x-1）²+（y-1）²=2，
所以圆心M为（1，1）．
因为直线l经过点M，
所以直线l的方程为y-1=k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．
因为点M（1，1）在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的内部，
所以恒有△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2-4k

1+2k2

．
因为M为AB的中点，
所以

x1+x2

2

=1，
即

2k2-2k

1+2k2

=1，
解得k=-

1

2

．
所以存在常数k=-

1

2

，
使得

CA

+

CB

=2

CM

．

点评：本题通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．综合性强，难度大，容易出错．