Question

14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosC•sin²$\frac{C}{2}$+cos2C=0．
（Ⅰ）若函数f（x）=sin（C-2x），求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若3ab=-25-c²，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知等式，通过二倍角的余弦函数化简，求出C的余弦值，得到C的大小，化简函数f（x）=sin（C-2x），利用正弦函数的单调性，求f（x）的单调增区间；
（2）利用3ab=25-c²，由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，25-3ab=a²+b²-ab，求出（a+b）²=5，利用基本不等式求解面积的最大值．

解答 解：（1）由条件：4cosC•$\frac{1-cosC}{2}$+2cos²C-1=0，∴cosC=$\frac{1}{2}$
故C=$\frac{π}{3}$，则f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x），
∴$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3}{2}$π+2kπ
∴$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11}{12}$π+kπ，k∈Z
∴f（x）的单调增区间为[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11}{12}$π+kπ]k∈Z
（2）由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC
∴25-3ab=a²+b²-ab，
∴（a+b）²=25，
∴a+b=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}•（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{16}$，
当且仅当a=b=$\frac{5}{2}$取得最大值$\frac{25\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查二倍角的余弦函数，余弦定理，正弦函数的单调性，三角形的面积以及基本不等式的应用，考查计算能力．