题目内容

【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如下表所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.

晋级成功

晋级失败

合计

16

50

合计

(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(Ⅲ)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X的分布列与数学期望E(X).
(参考公式: ,其中n=a+b+c+d)

P(K2≥k0

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k0

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

【答案】解:(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1, 可知(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1,
解得a=0.005;
(Ⅱ)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25,
所以晋级成功的人数为100×0.25=25(人),
填表如下:

晋级成功

晋级失败

合计

16

34

50

9

41

50

合计

25

75

100

假设“晋级成功”与性别无关,
根据上表数据代入公式可得
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关;
(Ⅲ)由频率分布直方图知晋级失败的频率为1﹣0.25=0.75,
将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,
这人晋级失败的概率为0.75,
所以X可视为服从二项分布,即






所以X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P(X=k)

数学期望为
或(
【解析】(Ⅰ)由频率和为1,列出方程求a的值;(Ⅱ)由频率分布直方图求出晋级成功的频率,计算晋级成功的人数,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(Ⅲ)由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率,知随机变量X服从二项分布,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望;
【考点精析】根据题目的已知条件,利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.

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