题目内容
【题目】在四棱锥中,
平面
,
,
,
,
,
,
是
的中点,
在线段
上,且满足
.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得
与平面
所成角的余弦值是
,若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】分析:该题是立体几何的有关问题,第一问在证明线面平行时,可以利用常规方法,用线面平行的判定定理来证明,也可以应用空间向量来证明,用直线的方向向量与平面的法向量是垂直的即可,第二问求二面角的余弦值,用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得,第三问假设其存在,设出点的坐标,建立等量关系式从而求得结果,做好取舍即可.
详解:(1)证明:取的中点
,
的中点
,连接
和
,
∴且
,
∴,
分别为
,
的中点.
且
∴且
,四边形
为平行四边形,
∴,
平面
,
平面
,
∴平面
.
(1)由题意可得,
,
两两互相垂直,如果,以
为原点,
,
,
分别是
,
,
轴建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
∴
,令
∴
又,∴
,∴
平面
∴
平面
(2)设点坐标为
则,
,
由得
,∴
设平面的法向量为
,
由得
即
令
∴
则
又由图可知,该二面角为锐角
故二面角的余弦值为
(3)设,
,∴
∴
∴
∵与平面
所成角的余弦值是
∴其正弦值为
∴,整理得:
,解得:
,
(舍)
∴存在满足条件的点,
,且
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