Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（　　）

• A、

  1

  25

• B、

  1

  9

• C、

  1

  5

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：根据抛物线的定义，可得点M到抛物线的准线x=-

p

2

的距离也为5，即即|1+

p

2

|=5，解可得p=8，可得抛物线的方程，进而可得M的坐标；根据双曲线的性质，可得A的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得

4

1+ a

=

1

a

，解可得a的值，即可得答案．

解答：解：根据题意，抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线x=-

p

2

的距离也为5，
即|1+

p

2

|=5，解可得p=8；即抛物线的方程为y²=16x，
易得m²=2×8=16，则m=4，即M的坐标为（1，4）
双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A，则a＞0，且A的坐标为（-

a

，0），
其渐近线方程为y=±

1

a

x；
而K_AM=

4

1+ a

，
又由若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有

4

1+ a

=

1

a

，
解可得a=

1

9

；
故选B．

点评：本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．