题目内容
3.如图,已知△OAB中,点B关于点A的对称点为C,D在线段OB上,且OD=2DB,DC和OA相交于点E.设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$.(1)用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{DC}$.
(2)若$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{OA}$,求实数λ的值.
分析 (1)先判断出A为线段BC的中点,根据向量加法、减法,及数乘的几何意义即可得到$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{2\overrightarrow{a}}-\frac{5}{3}\overrightarrow{b}$;
(2)$\overrightarrow{OE}$可表示成:$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+μ\overrightarrow{DC}=(2+2μ)\overrightarrow{a}$$-(1+\frac{5}{3}μ)\overrightarrow{b}$,而$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{a}$,从而根据平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{2+2μ=λ}\\{1+\frac{5}{3}μ=0}\end{array}\right.$,解出λ即可.
解答 解:(1)根据条件A为线段BC中点;
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OB}+2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$=$2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$;
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$=$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}\overrightarrow{b}$;
(2)$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CE}$;
$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{DC}$共线;
∴存在实数μ,使$\overrightarrow{CE}=μ\overrightarrow{DC}=2μ\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}μ\overrightarrow{b}$;
∴$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+2μ\overrightarrow{a}-\frac{5}{3}μ\overrightarrow{b}$=$(2+2μ)\overrightarrow{a}-(1+\frac{5}{3}μ)\overrightarrow{b}$;
又$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}=λ\overrightarrow{a}$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+2μ=λ}\\{1+\frac{5}{3}μ=0}\end{array}\right.$;
解得$λ=\frac{4}{5}$.
点评 考查向量加法、减法,及数乘的几何意义,以及共线向量、平面向量基本定理.
A. | $(-∞,-\frac{1}{5}]∪[1,+∞)$ | B. | $[\frac{1}{3},1]$ | C. | [-$\frac{1}{5}$,$\frac{1}{3}$] | D. | [-$\frac{1}{5}$,1] |
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
A. | 3737 | B. | 737 | C. | 03737 | D. | 7373 |