Question

若函数f（x）=x³-ax²+2的一个极值点是2，则a=

3

，此函数在区间[-1，1]上的最大值是

2

．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a的关系式，解方程即可．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，再表示出在各个区间上的导函数和函数的增减情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果．

解答：解：（1）对函数f（x）求导得，f′（x）=3x²-2ax，
因为f（x）在x=2时取得极值，所以f'（2）=0，
即12-4a=0，解得a=3．                                                                      
（2）由（1）得 f（x）=x³-3x²+2．
∴f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0，解得x＜0或 x＞2；  令f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
又x∈[-1，1]
所以f（x）在区间[-1，0）上单调递增，在 （0，1]内单调递减，
所以当x=0时，f（x）有最大值f（0）=2．
故答案为：3；2．

点评：不同考查函数在某点取得极值的条件、函数的最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．