Question

【题目】已知等比数列{an}是单调递增的数列，a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ， a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=anlog2an ， 数列{bn}的前n项和为Sn ， 求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的首项a1，公比为q，q＞0，

依题意可得：2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，

解得：a3=8，a2+a4=20，

∴ ，

解得： 或 ，

∵数列{an}是单调递增的数列，

∴a1=2，q=2，

∴数列{an}的通项公式为an=2n

（2）解：∵bn=anlog2an=n2n，

∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n2n，①

2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n2n+1，②

①﹣②，得﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1，

= ﹣n2n+1，

=2n+1﹣n2n+1﹣2，

=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴Sn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由2（a3+2）=a2+a4 ， 代入a2+a3+a4=28，求得a3=8，a2+a4=20，根据等比数列通项公式，即可求a1=2，q=2，求得数列{an}的通项公式；（2）由bn=anlog2an=n2n ， 采用“错位相减法”即可求得数列{bn}的前n项和为Sn ．
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．