题目内容
如图，已知
，
，
，
分别是椭圆
的四个顶点，△
是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆
．
（1）求椭圆
及圆
的方程；
（2）若点
是圆
劣弧
上一动点（点异于端点
，
），直线
分别交线段
，椭圆于点，，直线
与
交于点
．
（ⅰ）求
的最大值；
（ⅱ）试问：.
.，
两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
（1）
，
，（2）（ⅰ）
，（ⅱ）
.
解析试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，
，
，所以
，
，所以椭圆
的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心
，
，所以圆
的方程为
（2）（ⅰ）本题关键分析出比值
暗示的解题方向，由于点
在
轴上，所以
，因此解题方向为利用斜率分别表示出点
与点
的横坐标. 设直线
的方程为
，与直线
的方程
联立，解得点
，联立
，消去并整理得，
，解得点
,因此
当且仅当
时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点
的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线.
.的方程为
，与直线
的方程
联立，解得点
，所以、两点的横坐标之和为
．
试题解析：（1）由题意知，，，
所以，，所以椭圆的方程为， 2分
易得圆心，
，所以圆的方程为． 4分
（2）解：设直线的方程为，
与直线的方程联立，解得点， 6分
联立，消去并整理得，，解得点，
9分
（ⅰ）
，当且仅当时，取“=”，
所以的最大值为． 12分
（ⅱ）直线的
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的中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合.
，过点
，若直线
，直线
是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
，点
，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
的方程；
，
，点G是轨迹
相交于点D，试判断以线段BD为直径的圆与直线GF的位置关系，并证明你的结论．
，过点
且离心率为
.
的方程；
是椭圆
满足
，连接
角椭圆于点
，在
轴上是否存在异于点
，使得以
为直径的圆经过直线
和直线
的交点，若存在，求出
：
的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
的直线
与椭圆
，
，是否存在直线
与△
的面积比值为
？若存在，求出直线
的方程为
，过原点作斜率为
的直线和曲线
，过
的直线与曲线
，过
的直线与曲线
，如此下去，一般地，过点
作斜率为
的直线与曲线
，设点
（
）．
，并求
与
的关系式（
（
，向哪一点无限接近？说明理由；
，数列
的前
项和为
，试比较
与
的大小，并证明你的结论．
的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合,
在第一和第四象限的交点分别为
.
是边长为
的正三角形，求抛物线
，求椭圆
.
的离心率为，左焦点为F(－1，0)，
，求直线L的方程；
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。
的标准方程；
与椭圆
、
两点，且
，试判断
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．