Question

16．△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，求$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$的值；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求角B的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得解．
（Ⅱ）由a、b、c成等比数列，则b²=ac，由余弦定理和基本不等式，即可得到B的范围；

解答 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
∴2sinB=sinA+sinC，
∴2sin（A+C）=sinA+sinC，
∵sinB=sin（A+C）≠0，
∴$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$=2…（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
故∠B的取值范围是$（0，\frac{π}{3}]$…（10分）

点评 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，等差数列，等比数列的性质及运用，考查基本不等式的运用求最值，属于中档题．