Question

设函数f(x)＝x＋ax²＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤2x－2.

 

Answer 1

【答案】

　(1) a＝－1，b＝3. (2)利用导数证明。

【解析】

试题分析：　(1)f ′(x)＝1＋2ax＋.（1分）

由已知条件得即

解得a＝－1，b＝3.   （4分）

(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由(1)知f(x)＝x－x²＋3lnx.

设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3lnx，则

g′(x)＝－1－2x＋＝－.  （6分）

当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．（8分）

而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. （10分）

考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明。

点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性。定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解。