Question

【题目】已知函数在处的切线方程为

（1）求的解析式；

（2）若对任意的均有求实数k的取值范围；

（3）设为两个正数，求证：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，得到进而求出解析式；（2）研究函数的单调性，使得函数的最小值大于0即可；（3）当时，和两种情况；构造函数证得，将式子化简即可。

解析：

（1）由得，

由题意： ，解得，所以．

（2）令，

则，令得，

当时， ， 在上单调递减；

当时， ， 在 上单调递增，

所以的最小值为，

由题意知，解得，故实数的取值范围是．

（3）当时，结论显然成立，否则不妨设，

设则

当时， ， 在上为减函数；当时， ， 在上为增函数.从而当时，∵，∴，即得，

化简得，

故．