Question

【题目】已知双曲线方程为.

（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值；

（2）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）将直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系、中点坐标公式，结合题意进行求解即可；

（2）先求出直线的方程，与双曲线联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量夹角公式进行证明即可.

（1）设两点的坐标分别为，线段的中点为，由得，，

.

点在圆上，

（2）点在圆上，所以有，

因为，所以设过与该圆相切的直线的斜率为，

因此有 ，所以切线方程为：，

化简，得.由及，得.∵切线与双曲线交于不同的两点，且，且.设两点的坐标分别为，则.，且的大小为90°.