Question

以下关于圆锥曲线的四个命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹是双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，则动点P的轨迹是圆（点A除外）；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④到定点（1，0）的距离比到y轴的距离大1的动点P的轨迹是抛物线．
其中真命题的序号为

②③

（写出三友真命题的序号）．

Answer 1

分析：命题①利用举反例加以说明；
命题②设出定圆的方程，利用代入法分析可知AB中点P的轨迹为圆（除去A点）；
命题③求出方程的两根即可得到答案；
命题④利用举反例的办法加以判断．

解答：解：对于①，若|k|＞|AB|，则满足|

PA

|-|

PB

|=k的动点P在实平面内不表示任何图形，∴①不正确；
对于②，设定圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，可知P为AB的中点，则B（2x-m，2y-n），∵AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，
把B的坐标代入圆x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，∴点A除外，∴②正确；
对于③，方程2x²-5x+2=0的两根分别为

1

2

和2，∴方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率正确；
对于④，设动点P（x，y），由题意知，x轴负半轴（含原点）上的点都满足到定点（1，0）的距离比到y轴的距离大1，∴④不正确．
所以正确的命题是②③．
故答案为②③．

点评：本题考查了抛物线及双曲线的定义，考查了命题的真假的判断，要说明一个命题为真，需要严格的证明，要说明命题是假命题，只要举一个反例即可，此题属中档题．