Question

以下是关于圆锥曲线的四个命题：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；
②方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点；
④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切．
其中真命题为

②③④

（写出所以真命题的序号）．

Answer 1

分析：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；②正确．方程2x²-5x+2=0的两根

1

2

和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③正确，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）．④通过抛物线的性质即可说明正误．

解答：解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．
②正确．方程2x²-5x+2=0的两根分别为

1

2

和2，

1

2

和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
③正确，双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）；
④正确；不妨设抛物线为标准抛物线：y²=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d₁=|PF|，Q到准线的距离d₂=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由抛物线的定义可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切．
故答案为：②③④

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，考查椭圆和双曲线的基本性质，解题时要准确理解概念，基本知识的理解与应用，属于中档题．