Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A₁、A₂、B₁、B₂分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
（1）设点M（x₀，0），若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点A₁、A₂处时，|PM|取得最大值与最小值，求x₀的取值范围；
（2）若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点（A，B不是椭圆的左右顶点），并满足AA₂⊥BA₂．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设出P点坐标，用P，M点坐标表示|PM|的平方，得到PM|的平方可看成是关于x的二次函数，再根据x的取值范围，求出PM|的平方的范围，进而得到x₀的取值范围．
（2）先根据椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l求出椭圆方程，再与直线l：y=kx+m联立，得到x₁x₂，x₁+x₂，再根据AA₂⊥BA₂，AA₂与BA₂斜率之积为-1，，求m的值，若能求出，则直线l过定点，若不能求出，则直线l不过定点．

解答：解：（1）设P（x，y）且

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
则f(x)=|PM|2=(x-x0)2+y2=

c2

a2

x2-2x0x+x02+b2，则对称轴方程为x=

a2

c2

x0，
由题意只有当

a2x0

c2

≥a或

a2x0

c2

≤-a时满足题意，所以x0≥

c2

a

或x0≤-

c2

a

故x₀的取值范围是(-∞，-

c2

a

]∪[

c2

a

，+∞)．                                    
（2）因为|c|＞

c2

a

所以由（1）得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                        
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0 x1+x2= 8mk 3+4k2 x1x2=  4(m2-3) 3+4k2

又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
因为椭圆的右顶点为A₂（2，0），∴kAA2kBA2=-1，即

y1

x1-2

y21

x2-2

=-1，
y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0．
解得：m₁=-2k，m₂=-

2k

7

，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m₂=-

2k

7

时，l的方程为y=k（x-

2

7

），直线过定点（

2

7

，0）．
所以，直线l过定点，定点坐标为（

2

7

，0）．

点评：本题考查了直线与椭圆位置关系，计算量较大，做题时应认真，避免出错．