题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设的极小值为
,当
时,求证:
.
【答案】(Ⅰ)的单调递增区间为
和
,无单调递减区间;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)对求导可得
,设
,对
求导,判断
的符号,进而可得
的单调性;(Ⅱ)对
进行求导,可得
的极小值
,对
求导,易证
,在将
等价转化为
,令
,对其求导求其最值即可.
(Ⅰ)因为(
且
),所以
.
设,则
.
当时,
,
是增函数,
,所以
.
故在
上为增函数;
当时,
,
是减函数,
,所以
,所以
在
上为增函数.
故的单调递增区间为
和
,无单调递减区间.
(Ⅱ)由已知可得,则
.令
,得
,
.
当时,
,
为减函数;
当时,
,
为增函数,
所以的极小值
.
由,得
.
当时,
,
为增函数;
当时,
,
为减函数.
所以.
而
.
下证:时,
.
.
令,则
.
当时,
,
为减函数;
当时,
,
为增函数.
所以,即
.
所以,即
.所以
.
综上所述,要证的不等式成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目