Question

12．已知函数f（x）=2^x，且f（a）=3，函数g（x）=2^ax-$\frac{3}{2}$•9^x．
（1）求常数a的值，并求g（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，1]时，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（a）=3，化为2^a=3，解得a=log₂3．可得2^ax=（2^a）^x=3^x．即可得出g（x）．
（2）由x∈[-2，1]，可得3^x∈$[\frac{1}{9}，3]$．g（x）=$-\frac{3}{2}•（{3}^{x}）^{2}$+3^x=$-\frac{3}{2}$$（{3}^{x}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵f（a）=3，∴2^a=3，解得a=log₂3．
∴2^ax=（2^a）^x=3^x．
函数g（x）=2^ax-$\frac{3}{2}$•9^x=3^x-$\frac{3}{2}•{9}^{x}$．
（2）∵x∈[-2，1]，∴3^x∈$[\frac{1}{9}，3]$．
g（x）=$-\frac{3}{2}•（{3}^{x}）^{2}$+3^x=$-\frac{3}{2}$$（{3}^{x}-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{6}$，
∴当3^x=$\frac{1}{3}$时，g（x）取得最大值$\frac{1}{6}$．
又g（-2）=$\frac{5}{54}$，g（1）=-$\frac{21}{2}$，
∴函数g（x）的最小值为：-$\frac{21}{2}$．
∴g（x）的值域是$[-\frac{21}{2}，\frac{1}{6}]$．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．