Question

在三角形ABC中，角A、B、C满足sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）求函数y=2sin²B-cos2A的值域．

Answer 1

分析：（1）化简三角恒等式，然后利用和角公式进行整理，最后根据特殊值的三角函数求出角C即可；
（2）角A用角B表示，转化成角B的三角函数，利用辅助角公式进行化简，根据角B的范围，可求出函数的值域．

解答：解：（1）由sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC
得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC
所以sin（B+C）=2sinAcosC
又A+B+C=π，所以，sinA=2sinAcosC，因为0＜A＜π，sinA＞0，
所以cosC=

1

2

，又0＜C＜π，所以C=

π

3

（2）在三角形ABC中，C=

π

3

，故A+B=

2π

3

，
y=2sin²B-cos2（

2π

3

-B）
=2sin²B+cos（

π

3

-2B）
=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1
=sin（2B-

π

6

）+1
∵0＜B＜

2π

3

∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

）
则sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]
∴函数y=2sin²B-cos2A的值域（

1

2

，2]

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，以及三角函数的值域，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．