Question

已知函数f(x)=(

3

sinωx+cosωx)sin(-

3π

2

+ωx)(0＜ω＜

1

2

)，且函数y=f（x）的图象的一个对称中心为(

5π

3

，a)．
（I）求a和函数f（x）的单调递减区间；
（II）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足

2a-c

b

=

cosC

cosB

，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简可得f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，由函数y=f（x）的图象的一个对称中心为(

5π

3

，a)可得2ω•

5π

3

+

π

6

=kπ，结合0＜ω＜

1

2

可求ω
，进而可求f（x），a，令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可求函数的单调递减区间
（II）对

2a-c

b

=

cosC

cosB

利用正弦定理，和差角公式化简可求cosB，进而可求B，结合三角形的内角和定理可求A的范围，结合正弦函数的性质可求f（A）的范围

解答：解：（I）∵f（x）=（

3

sinωx+cosωx）sin（-

3π

2

+ωx）
=(

3

sinωx+cosωx)cosωx
=

3

sinωxcosωx+cos2ωx
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

（2分）
又∵函数y=f（x）的图象的一个对称中心为(

5π

3

，a)
∴2ω•

5π

3

+

π

6

=kπ
∴ω=

6k-1

20

∵0＜ω＜

1

2

∴ω=

1

4

（4分）
从而有f（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）+

1

2

，故a=

1

2

，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈Z
∴函数的单调递减区间[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]，k∈Z（6分）
（II）∵

2a-c

b

=

cosC

cosB

由正弦定理可得，

2sinA-sinC

sinB

=

cosC

cosB

∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin（π-A）=sinA
∵sinA≠0
∴cosB=

1

2

∴B=

π

3

（9分）
∴0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜

1

2

A+

π

6

＜  

π

2

∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)＜1
∵f（A）=sin（

1

2

A+

π

6

）+

1

2

，
∴1＜f(A)＜

3

2

（12分）

点评：本题主要考察了利用二倍角公式，辅助角公式进行三角函数的化简，正弦定理解三角形，三角函数的图象和性质及三角形中三角函数知识的综合应用．