Question

在三角形ABC中，角A．B．C成公差大于0的等差数列，

m

=(sinAcos

C-A

2

，cos2A)，

n

=(2cosA，sin

C-A

2

)
（1）求

m

•

n

的取值范围；
（2）若设A．B．C的对应边分别为a．b．c，求

a+c

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A＜B＜C且B=

π

3

，利用两角和的正弦公式、两个向量的数量积公式计算

m

•

n

=sin（A+

π

3

）．再根据 0＜A＜

π

3

，再利用正弦函数的定义域和值域求得

m

•

n

的取值范围．
（2）化简sinA+sinC等于

3

sin（A+

π

6

），根据 0＜A＜

π

3

，根据正弦函数的定义域和值域求得sinA+sinC 的范围，可得 

a+c

b

的取值范围．

解答：解：（1）∵A、B、C成公差大于0的等差数列，所以A＜B＜C且B=

π

3

．
又

m

•

n

=sinA•cos

C-A

2

•2cosA+cos2A•sin

C-A

2

=sin2A•cos

C-A

2

+cos2A•sin

C-A

2

 
=sin（2A+

C-A

2

）=sin（

3A

2

+

C

2

）=sin（A+

A+C

2

）=sin（A+

π

3

）．
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，

3

2

＜sin（A+

π

3

）≤1，∴

m

•

n

的取值范围为（

3

2

，1]．
（2）由于sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

）．
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin（A+

π

6

）＜1，∴

3

2

＜

3

sin（A+

π

6

）＜

3

．
即 sinA+sinC 的范围是（

3

2

，

3

）．
由于

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=

sinA+sinC

3 2

=

2 3

3

（sinA+sinC）∈（1，2），
即

a+c

b

的取值范围为（1，2）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．