题目内容
已知向量
=(x，
y)，
=(1，0)，且(
+2
)⊥(
-2
)．点T（x，y）
（1）求点T的轨迹方程C；
（2）过点（0，1）且以(2，
)为方向向量的一条直线与轨迹方程C相交于点P，Q两点，OP，OQ所在的直线的斜率分别是kOP、kOQ，求kOP•kOQ的值．
| a |
| 2 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求点T的轨迹方程C；
（2）过点（0，1）且以(2，
| 2 |
分析：（1）由
=(x，
y)，
=(1，0)，可得
+2
=(x+2，
y)，
-2
=(x-2，
y)，利用(
+2
)⊥(
-2
)得到两者的内积为0，整理可得点T的轨迹方程；
（2）设直线L的方程：y=
x+1与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，即可求kOP•kOQ的值．
| a |
| 2 |
| b |
| a |
| b |
| 2 |
| a |
| b |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）设直线L的方程：y=
| ||
| 2 |
解答：解：（1）∵
=(x，
y)，
=(1，0)，
∴
+2
=(x+2，
y)，
-2
=(x-2，
y)
∵(
+2
)⊥(
-2
)
∴x2-4+2y2=0
∴点T的轨迹方程C为
+
=1
（2）设直线L的方程：y=
x+1
联立
消去y得：x2+
x-1=0所以x1x2=-1，
同法消去x得：2y2-2y-1=0，所以y1y2=-
∴kOP•kOQ=
=
| a |
| 2 |
| b |
∴
| a |
| b |
| 2 |
| a |
| b |
| 2 |
∵(
| a |
| b |
| a |
| b |
∴x2-4+2y2=0
∴点T的轨迹方程C为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（2）设直线L的方程：y=
| ||
| 2 |
联立
|
| 2 |
同法消去x得：2y2-2y-1=0，所以y1y2=-
| 1 |
| 2 |
∴kOP•kOQ=
| y1y2 |
| x1x2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用韦达定理是关键．
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