题目内容
已知向量
=(1,2),
=(-2,1),
=+(k2+1)
,
=-
+
,k,t为实数.
(Ⅰ)当k=-2时,求使
∥
成立的实数t值;
(Ⅱ)若
⊥
,求k的取值范围.
a |
b |
x |
b |
y |
1 |
k |
a |
1 |
t |
b |
(Ⅰ)当k=-2时,求使
x |
y |
(Ⅱ)若
x |
y |
分析:先求出
,
,(Ⅰ)利用向量共线的条件建立方程,可求实数t值;
(Ⅱ)利用向量垂直的条件建立方程,可得k的函数,进而可求k的取值范围.
x |
y |
(Ⅱ)利用向量垂直的条件建立方程,可得k的函数,进而可求k的取值范围.
解答:解:∵
=(1,2),
=(-2,1)
∴
=
+(t2+1)
=(-2t2-1,t2+3),
=-
+
=(-
-
,-
+
).------------------(2分)
(Ⅰ)当
∥
时,(-2t2-1)(-
+
)-(t2+3)(-
-
)=0.------------(4分)
化简,得
+
=0,当k=-2时,即t3+t-2=0.
∴t=1,使
∥
成立.----------------------------(6分)
(Ⅱ)若
⊥
,则
•
=0,
即(-2t2-1)(-
-
)+(-
+
)(t2+3)=0.---------------------(8分)
整理,得k=
.
t≠0时,k=
,∴-
≤k<0或0<k≤
t=0时,k=
=0
∴-
≤k≤
.--------------------------(12分)
a |
b |
∴
x |
a |
b |
y |
1 |
k |
a |
1 |
t |
b |
1 |
k |
2 |
t |
2 |
k |
1 |
t |
(Ⅰ)当
x |
y |
2 |
k |
1 |
t |
1 |
k |
2 |
t |
化简,得
t2+1 |
k |
1 |
t |
∴t=1,使
x |
y |
(Ⅱ)若
x |
y |
x |
y |
即(-2t2-1)(-
1 |
k |
2 |
t |
2 |
k |
1 |
t |
整理,得k=
t |
t2+1 |
t≠0时,k=
1 | ||
t +
|
1 |
2 |
1 |
2 |
t=0时,k=
t |
t2+1 |
∴-
1 |
2 |
1 |
2 |
点评:本题考查向量知识的运用,考查向量共线、垂直的条件,考查基本不等式的运用,属于中档题.

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