题目内容

已知x、y满足不等式组 $数学公式$ ，若O为坐标原点，M（x，y），N（1，-2），则 $数学公式$ • $数学公式$ 的最小值是________．

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分析：由不等式组画出可行域，再由给出的两个点的坐标写出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的表达式，利用线性规划知识求线性目标函数的最小值．
解答：由不等式组 $\text{[math]}$ 得可行域为△ABC的边界及其内部，如图，

由x-y=-2，2x+y=2解得A（0，2）．
由x-y=-2，x+2y=-2解得B（-2，0）．
由x+2y=-2，2x+y=2解得C（2，-2）．
∵M（x，y），N（1，-2），∴ $\text{[math]}$ =（x，y）， $\text{[math]}$ =（1，-2）．
则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =x-2y．
令z= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =x-2y，则 $\text{[math]}$ ，
要使z最小，则直线 $\text{[math]}$ 在y轴上的截距最大．
由可行域可知，当直线 $\text{[math]}$ 过点A（0，2）时截距最大，
所以z的最小值为0-2×2=-4．
即 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值是-4．
故答案为-4．
点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了数学转化思想，训练了线性目标函数最值的求法，解答此类问题，最好的方法是把线性目标函数转化为直线方程的斜截式，把求目标函数的最值问题转化为求直线在y轴上的截距最大或最小问题．是中档题．