Question

18．已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[-1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）已知f（x）=x+$\frac{a}{x}$，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；
（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；
（Ⅱ）根据Ω函数的定义，分别求k=1，a=$\frac{3}{2}$，进行证明即可；
（Ⅲ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；------------------（4分）
（Ⅱ）法一：取k=1，a=$\frac{3}{2}$∈（1，2），--------------------------（5分）
则令[m]=1，m=$\frac{a}{1}$=$\frac{3}{2}$，--------------------------（7分）
此时f（$\frac{3}{2}$）=f（[$\frac{3}{2}$]）=f（1）
所以f（x）是Ω函数．--------------------------（9分）
法二：取k=1，a=$\frac{1}{2}$∈（0，1），--------------------------（5分）
则令[m]=-1，m=$-\frac{1}{2}$，--------------------------（7分）
此时f（-$\frac{1}{2}$）=f（[-$\frac{1}{2}$]）=f（-1），
所以f（x）是Ω函数．--------------------------（9分）
（说明：这里实际上有两种方案：
方案一：设k∈N^•，取a∈（k²，k²+k），
令[m]=k，m=$\frac{a}{k}$，则一定有m-[m]=$\frac{a}{k}$-k=$\frac{a-{k}^{2}}{k}$∈（0，1），
且f（m）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）
方案二：设k∈N^•，取a∈（k²-k，k²），
令[m]=-k，m=-$\frac{a}{k}$，则一定有m-[m]=-$\frac{a}{k}$-（-k）=-$\frac{a-{k}^{2}}{k}$∈（0，1），
且f（x）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）
（Ⅲ）T的最小值为1．--------------------------（11分）
因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．
假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．--------------------------（13分）
所以必有T≥1，
而函数l（x）=x-[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，
综上，T的最小值为1．--------------------------（14分）

点评 本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．