题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是梯形,
,
,
底面
点
是
的中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若且
与平面
所成角的大小为
,求二面角
的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(I)根据已知条件得到,
,由此证得
平面
.从而证得
,结合
,证得
平面
,进而证得
.(II)作出
与平面
所成的角,通过线面角的大小计算出有关的边长,作出二面角
的平面角,解直角三角形求得二面角的正弦值.
(Ⅰ)证明:因为平面
,
平面
,所以
.
又由是梯形,
,
,知
,
而,
平面
,
平面
,所以
平面
.
因为平面
,所以
.
又,点
是
的中点,所以
.
因为,
平面
,
平面
,所以
平面
.
因为平面
,所以
.
(Ⅱ)解:如图所示,过作
于
,连接
,
因为平面
,
平面
,所以
,
则平面
,于是平面
平面
,它们的交线是
.
过作
于
,则
平面
,
即在平面
上的射影是
,
所以与平面
所成的角是
.由题意,
.
在直角三角形中,
,于是
.
在直角三角形中,
,所以
.
过作
于
,连接
,
由三垂线定理,得,所以
为二面角
的平面角,
在直角三角形中,
,
.
在直角三角形中,
,
所以二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业对现有设备进行了改造,为了了解设备改造后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测其质量指标值,若质量指标值在内,则该产品视为合格品,否则视为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的样本的频数分布表.
(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关:
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(2)根据图1和表1提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;
(3)企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在内的定为一等品,每件售价180元;质量指标值落在
或
内的定为二等品,每件售价150元;其他的合格品定为三等品,每件售价120元.根据频数分布表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为
(单位:元),求
的分布列和数学期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |