Question

（本小题满分12分）
已知F1、F2分别是双曲线x2-y2＝1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx+b  (b>0)与圆O相切，并与双曲线相交于A、B两点.
（1）根据条件求出b和k满足的关系式；
（2）向量在向量方向的投影是p，当(×)p2＝1时，求直线l的方程；
（3）当(×)p2=m且满足2≤m≤4时，求DAOB面积的取值范围.

Answer 1

（1）b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)
（2）y=±x+
（3）[3]

解：（1）b和k满足的关系式为b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)  …………3分
（2）设A(x1,y1) B(x2,y2)，则由消去y
得(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0，其中k2¹1        …………4分
∴×="x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=" + + 2(k2+1)
由于向量方向上的投影是p
∴p2=cos2<,>=              …………6分
∴(×)×p2= + +2=1Þk=±
∵b2=" 2(k2+1) " (k¹±1,b>0)， 故b=，经检验适合D＞0
∴直线l的方程为y=±x+             …………8分
（3）类似于（Ⅱ）可得+ +2=m
∴k2="1+" ， b2="4+" 根据弦长公式
得 …………10分
则SDAOB= |AB|×=
而mÎ[2,4]，∴DAOB的面积的取值范围是[3] …………12分