题目内容

已知O为坐标原点,点A的坐标是(2,3),点P(x,y)在不等式组
x+y≥3
2x+y≤6
x+2y≤6
所确定的区域内上运动,则
|OP|
•cos∠AOP
的最小值是
6
13
13
6
13
13
分析:先画出约束条件
x+y≥3
2x+y≤6
x+2y≤6
的可行域,再根据点A的坐标及点P的坐标,将
|OP|
•cos∠AOP
的最小值表达为一个关于x,y的式子,即目标函数,然后将可行域中各角点坐标代入目标函数的解析式.
解答:解:∵
|OP|
•cos∠AOP
=
OA
OP
|
OA
|
=
2x+3y
22+32
=
13
13
(2x+3y)

于是问题转化为求z=2x+3y的最小值,
作出
x+y≥3
2x+y≤6
x+2y≤6
的可行域如图所示,当直线经过点B时,由
x+y=3
2x+y=6
,解得B(3,0)
z=2x+3y取得最小值,zmin=2×3-0=6,
从而
|OP|
•cos∠AOP
的最小值为:
6
13
13

故答案为:
6
13
13
点评:本题考查简单线性规划的应用,平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.
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