Question

5．为提倡市民节约用水，中国水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”，某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示．
将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每月的用水量相互独立．
（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计该地家庭的平均用水量及方差；
（2）求在未来连续3个月，有连续2个月的月用水量都不低于8吨，且另一个月的月用水量低于4吨的概率；
（3）①求月用水量低于8吨的概率；
②用X表示在未来3个月里用水量低于8吨的月数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由频率分布图得先求出用水量为2吨、6吨、10吨、14吨、18号的家庭所占概率，由此能求出该地家庭的平均用水量和方差的估计值．
（2）利用相互独立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未来连续3个月，有连续2个月的月用水量都不低于8吨，且另一个月的月用水量低于4吨的概率．
（3）①由频率分图能求出月用水量低于8吨的概率．
②由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X～（3，0.4），由此能求出随机变量X的分布列数学期望E（X）．

解答 解：（1）由频率分布图得：
用水量2吨的家庭为0.0375×4=0.15，
用水量6吨的家庭为0.0625×4=0.25，
用水量10吨的家庭为0.075×4=0.3，
用水量14吨的家庭为0.05×4=0.2，
用水量18吨的家庭为0.025×4=0.1，
∴该地家庭的平均用水量的估计值为：2×0.15+6×0.25+10×0.3+14×0.2+18×0.1=9.4．
该地家庭的用水量方差的估计值为：（2-9.4）²×0.15+（6-9.4）²×0.25+（10-9.4）²×0.3+（14-9.4）²×0.2+（18-9.4）²×0.1=22.84．
（2）在未来连续3个月，有连续2个月的月用水量都不低于8吨，且另一个月的月用水量低于4吨的概率：
P=0.15×0.6×0.6+0.6×0.6×0.15=0.108．
（3））①月用水量低于8吨的概率P′=0.15+0.25=0.4．
②由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X～（3，0.4），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}0．{6}^{3}$=0.216，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}0.4×0．{6}^{2}$=0.432，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×0．{4}^{2}×0.6$=0.288，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}0．{4}^{3}$=0.064，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

数学期望E（X）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．

点评 本题考查频率直方图的应用，考查平均值的方差的估计值的求法，考查概率及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中都是必考题型之一．