题目内容

(2010•山东模拟)已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的任意 x都成立
(1)求f(x)的解析式及定义域
(2)写出f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数?
分析:(1)由xf(x)=b+cf(x)可求得f(x))=
b
x-c
,由f(1-x)=-f(x+1)可得c值,由f(2)=-1可得b值,由表达式可得定义域;
(2)借助基本函数的单调性易求其单调区间,用定义即可证明;
解答:解:(1)由xf(x)=b+cf(x),b≠0,∴x≠c,得f(x)=
b
x-c

由f(1-x)=-f(x+1),得
b
1-x-c
=-
b
x+1-c
,解得c=1,
由f(2)=-1,得-1=
b
2-1
,解得b=-1,
∴f(x)=
-1
x-1
=
1
1-x

∵1-x≠0,∴x≠1,即f(x)的定义域为{x|x≠1}.
(2)f(x)的单调区间为(-∞,1),(1,+∞)且都为增区间,
证明:当x∈(-∞,1)时,设x1<x2<1,
则1-x1>0,1-x2>0,
∴f(x1)-f(x2)=
1
1-x1
-
1
1-x2
=
x1-x2
(1-x1)(1-x2)

∵1-x1>0,1-x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-∞,1)上单调递增.同理f(x)在(1,+∞)上单调递增.
点评:本题考查函数解析式的求解及单调区间的证明,属基础题,定义是证明函数单调性的基本方法.
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