Question

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已
知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)

项目类别	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	每年最多可生产的件数
A产品	10	m	5	100
B产品	20	4	9	60

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[3,4]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

Answer 1

（1）y₁=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N，y₂=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N；
（2）当3≤m＜3.85投资A产品200件可获得最大利润；当3.85＜m≤4投资B产品100件可获得最大利润；m=3.85生产A产品与B产品均可获得最大年利润。

试题分析：（1）y₁=5x-（10+mx）=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N
y₂=9x-（4x+20）-0.05x²=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N
（2）∵3≤m≤4∴5-m＞0∴y₁=（5-m）x-10为增函数
又0≤x≤100，x∈N∴x=100时，生产A产品有最大利润（5-m）×100-10=490-100m（万美元）
y₂=-0.05x²+5x-20=-0.05（x-50）²+105,0≤x≤60，x∈N
∴x=50时，生产B产品有最大利润105（万美元）（y₁）_max-（y₂）_max="490-100m" -105=385-100 m                           
当3≤m＜3.85时，（y₁）_max-（y₂）_max＞0
当m=3.85时，（y₁）_max-（y₂）_max=0
当3.85＜m≤4时，（y₁）_max-（y₂）_max＜0
∴当3≤m＜3.85投资A产品200件可获得最大利润
当3.85＜m≤4投资B产品100件可获得最大利润
m=3.85生产A产品与B产品均可获得最大年利润
点评：考查把实际问题转化为抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．